三次スプライン補間の理論と実装 — 数学・数値解法・実務応用ガイド

2025年12月11日 最終更新日時 : 2025年12月11日 エバープレイ編集部

はじめに

三次スプライン補間（cubic spline interpolation）は、与えられた離散的なデータ点を滑らかな曲線でつなぐために広く使われる手法です。高次単一多項式補間が示す振動（Runge現象）を回避しつつ、関数値および一階・二階導関数の連続性（C2連続）を保持できることから、数値計算、コンピュータグラフィックス、ロボティクス、信号処理など多くの分野で実務的に重宝されています。本稿では、数学的定義、導出、数値解法、境界条件の取り扱い、誤差評価、実装上の注意点、実務での適用例と代替手法について詳しく解説します。

定義と基本公式

節点（ノット） x_0 < x_1 < ... < x_n とそれに対応するデータ値 y_i = f(x_i) が与えられたとき、三次スプラインは各区間 [x_i, x_{i+1}] 上で三次多項式 S_i(x) を定義し、全区間で次を満たします。

  • 各区間で S_i(x) は次数 3 の多項式である。
  • 節点での関数値連続性: S_i(x_i)=y_i, S_i(x_{i+1})=y_{i+1}。
  • 一階および二階導関数の連続性: S_i'(x_{i+1}) = S_{i+1}'(x_{i+1}), S_i''(x_{i+1}) = S_{i+1}''(x_{i+1})（i=0,...,n-2）。
  • 境界条件（自然境界、クランプ境界、周期境界など）に従う。

実装上よく使われる表現の一つは、各区間の二階導関数 m_i = S''(x_i) を求めてから元の三次区間を再構成する方法です。区間幅 h_i = x_{i+1}-x_i とすると、区間内の S_i(x) は次で与えられます。

S_i(x) = ((x_{i+1}-x)^3 m_i + (x-x_i)^3 m_{i+1})/(6 h_i) + ((x_{i+1}-x) y_i + (x-x_i) y_{i+1})/h_i - h_i/6 * ((x_{i+1}-x) m_i + (x-x_i) m_{i+1}).

二階導関数を求める連立方程式（トリディアゴナル系）

内部節点 i=1,...,n-1 に対して、m_i は次の三重対角線性系を満たします。

h_{i-1} m_{i-1} + 2(h_{i-1}+h_i) m_i + h_i m_{i+1} = 6\left(\frac{y_{i+1}-y_i}{h_i} - \frac{y_i-y_{i-1}}{h_{i-1}}\right).

この連立方程式は係数が三重対角（tridiagonal）であり、O(n) の計算量で解けます。代表的な解法はトーマスアルゴリズム（前進消去と後退代入を用いる簡易Gauss消去）です。自然境界条件では m_0 = m_n = 0 を追加して系を閉じます。クランプ境界条件（端点で一次導関数が既知の場合）は、端点の方程式を導出して系を修正します。

境界条件の種類と効果

  • 自然（ナチュラル）スプライン: m_0 = m_n = 0。端部で二階導関数をゼロにする。境界で曲率が小さいと仮定する場合に使う。端で滑らかに直線に近づく挙動を示す。
  • クランプ（固定位）スプライン: 端点で一次導関数 S'(x_0) および/または S'(x_n) を指定する。斜率情報が既知な場合に用いる。端点条件を連立方程式の最初と最後に反映する。
  • 周期スプライン: S^{(k)}(x_0) = S^{(k)}(x_n) (k=0,1,2)。周期データに適用。

境界条件の選択は補間曲線の外挿挙動に強い影響を与えるため、物理的意味やデータの特性に合わせて選ぶ必要があります。

誤差評価と収束率

滑らかな関数 f をノット点でサンプリングした場合、三次スプライン s に対する最大誤差はノット間隔 h = max_i h_i に対して O(h^4) で縮小します。具体的には、等間隔ノットかつ自然境界条件の下では次のような不等式が知られています：

||f - s||_\infty ≤ C h^4 max_{ξ in [x_0,x_n]} |f^{(4)}(ξ)|

定数 C は境界条件やノット配置に依存しますが、等間隔で自然境界のとき C の典型値は 1/384 程度で表現される場合があります。ここから分かるように、三次スプラインは非常に高い精度で関数を近似できます（高次だが局所的な近似であるため安定性も保たれる）。

数値実装のポイント

  • 三重対角行列の解法: トーマスアルゴリズムを用いると O(n) の計算量で m を求められる。係数が大きく異なる場合はスケーリングに注意し、浮動小数点桁落ちに配慮する。
  • 不均等ノット: h_i が均一でない場合でも上記式は成立するが、ノットが極端に偏ると局所的に精度低下や条件数悪化が起きる。可能なら再サンプリングや適応的ノット配置を検討する。
  • モノトニティの保全: データが単調の場合、標準の三次スプラインはオーバーシュート（振動）を生じることがある。これを避けるためにPCHIP（Piecewise Cubic Hermite Interpolating Polynomial）やFritsch–Carlson法などの単調性保持手法を用いる。
  • 数値微分・積分: スプラインは解析的に微分・積分が可能であり、各区間の多項式係数を評価すれば高速に一階・二階導関数や積分値を算出できる。これは軌道計画や物理量の累積計算に有用。
  • パラメトリック曲線: 2D/3D の曲線は x(t), y(t) をそれぞれスプライン補間してパラメトリック曲線を構築する。等速パラメータ化（arc-length reparametrization）を併用することが多い。

実務での応用例

  • コンピュータグラフィックス: 曲線・サーフェスのモデリング（C^2連続が滑らかな見た目を生む）。
  • アニメーション・モーション設計: 物体の軌道や補間キーの滑らかな補完。
  • 信号処理・時系列補完: 欠損値補完や平滑化前処理。スプラインに基づくスムージング（smoothing spline）はノイズ除去に有効。
  • ロボティクス・軌道生成: 関節軌道やエンドエフェクタ経路の計画で、加速度連続性（C2）は物理的制約にマッチする。
  • 科学技術計算: データ補間、数値積分の補助、多変量補間の構成要素として。

他手法との比較

高次単一多項式補間は全域的に振動を起こしがちであるのに対し、スプラインは区間ごとの低次多項式を継ぎ合わせるため局所的な制御が可能で安定です。B-スプラインやNURBSはスプライン族をより一般化したもので、パラメータ制御や重みづけが可能なためCADやモデリング分野で広く使われます。一方、PCHIP のような区間ヘルミート補間法は単調性を保つ点で優れ、物理的に単調なデータに向きます。目的（滑らかさ、単調性、パラメータ制御）に応じて使い分けます。

代表的なライブラリと実装例

  • Python/SciPy: scipy.interpolate.CubicSpline（境界条件の指定が可能）、scipy.interpolate.PchipInterpolator（単調性保持）。
  • MATLAB: spline, ppval 等の関数でスプライン補間・評価が可能。
  • R: splinefun 関数や stats::smooth.spline。
  • C++: Boost.Math やアルゴリズムライブラリ（ALGLIB）などが実装を提供している。自前で実装する場合は三重対角行列の効率的解法（トーマスアルゴリズム）を実装するのが基本。

実装上のチェックリスト（実務向け）

  • ノットの重複や単調増加（x_i < x_{i+1}）を検査する。
  • 境界条件を明示し、デフォルト（自然）で良いか確認する。
  • データの単調性を維持したい場合は標準三次スプラインではなくPCHIP等を検討する。
  • 極端に偏ったノット配置は再サンプリングや変数変換で対処する。
  • 数値的安定性を考慮して、スケーリングや適切なデータ型（倍精度浮動小数点）を使用する。

まとめ

三次スプライン補間は、滑らかさ（C2連続）と局所制御を両立する強力な補間手法です。三重対角系を解くだけで高速に構築でき、微分・積分も容易に扱えるため、実務アプリケーションで広く使われています。選択すべき境界条件、単調性の保証、ノット配置の取り扱いなど実装上の注意点を押さえれば、多くの補間問題で高精度かつ安定な結果が得られます。

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