ITエンジニアのための「残差」完全ガイド：統計・時系列・機械学習での意味と実務的対応

2025年12月11日 最終更新日時 : 2025年12月11日 エバープレイ編集部

はじめに：残差（残差値）とは何か

残差（ざんさ、residual）は、観測値とモデルが予測した値との差を指します。回帰分析や時系列解析、機械学習において最も基本的かつ重要な概念の一つで、単純には「観測値 y_i と予測値 ŷ_i の差 e_i = y_i - ŷ_i」です。IT分野では、残差の解析を通じてモデルの適合性を診断し、仮定違反や外れ値、過学習などの問題を発見・修正します。本コラムでは理論的性質から実務での利用法、具体的な診断手順と対処法までを詳しく解説します。

線形回帰における残差の基本的性質

  • 定義：e_i = y_i - ŷ_i（ŷ_i は推定モデルによる予測値）

  • OLS（最小二乗法）での性質：定数項を含む線形回帰モデルにおいて、残差の総和はゼロになります（Σ e_i = 0）。また、残差ベクトルは説明変数の列空間に垂直（直交）であり、X^T e = 0 が成り立ちます。これらは解析上の重要な帰結です。

  • 残差分散の推定：残差平方和 RSS = Σ e_i^2 から誤差分散を s^2 = RSS / (n - p)（n は観測数、p は推定パラメータ数）で推定します。分母が n-p となる理由は自由度の補正です。

残差と真の誤差（エラー）の違い

統計モデルではデータは y_i = f(x_i) + ε_i として表され、ε_i が真の誤差（誤差項）です。一方、残差 e_i は有限サンプルで推定したモデルに基づく観測誤差の推定値であり、ε_i と同一ではありません。残差は ε_i の情報を含んでいますが、モデル推定やデータ構成によるバイアスを伴います。

標準化残差・学生化残差・影響値の概念

  • 標準化残差（standardized residual）：e_i を推定分散で割り、観測点ごとのばらつき（レバレッジ）を考慮してスケーリングしたもの。一般的な形は r_i = e_i / (s * sqrt(1 - h_ii))。ここで h_ii はハット行列 H の対角要素（レバレッジ）です。

  • 学生化残差（studentized residual）：観測 i を除いた分散推定量 s_(i) を用いる外部学生化残差は、より厳格な異常検出に使われ、t 分布に従う性質を持ちます。外部学生化残差は影響の強い観測値が分散推定を歪める影響を排除します。

  • レバレッジ（leverage）：h_ii は観測点の説明変数が設計行列上どれだけ極端かを表します。0 ≤ h_ii ≤ 1 であり、Σ h_ii = p（パラメータ数）。高レバレッジ点は予測に与える影響が大きく、わずかな残差でもモデル全体に重大な影響を与えます。

  • Cook の距離（Cook's distance）：各観測が回帰係数に与える影響の総合指標で、一般的な式の一つは D_i = (e_i^2 / (p * s^2)) * (h_ii / (1 - h_ii)^2) です。大きな D_i を持つ観測は影響力が強いとみなされます。

残差診断：仮定の検証と代表的な検定

線形回帰モデルの主要な仮定は、誤差項 ε_i が独立同分布（i.i.d.）、平均ゼロ、等分散（ホモスケダスティシティ）、正規分布であることです。残差診断はこれらの仮定が破られていないかを確かめます。

  • 残差プロット（残差 vs. 予測値）：パターンが無ければ等分散性やモデルの線形性の仮定を支持します。残差の構造化（例えば扇型）は等分散性違反のサインです。

  • QQプロット：残差の正規性を視覚的に確認します。大きく逸脱する場合は分布の仮定を疑います。

  • Breusch–Pagan検定 / White検定：等分散性（ホモスケダスティシティ）を統計的に検定する手法です。

  • Durbin–Watson検定：主に時系列回帰において残差の自己相関（特に1次）を検出するために使われます。

  • Ljung–Box検定： 残差の自己相関が存在しないかを一般的に検定する手法で、時系列モデルの診断によく使われます。

時系列モデルにおける残差の扱い

時系列解析では「良いモデルの残差は白色雑音（ホワイトノイズ）」であることが期待されます。つまり平均ゼロ、定常、自己相関がないこと。残差の自己相関が残る場合はモデルに自己回帰項や移動平均項が不足している可能性が高く、ARIMA や SARIMA の再選定が必要になります。残差の自己相関をチェックするには ACF（自己相関関数）や PACF（偏自己相関関数）、Ljung–Box 検定を用います。

機械学習における残差の視点：誤差解析とバイアス・分散トレードオフ

機械学習では残差は単純に「予測誤差」。平均二乗誤差（MSE）は残差の二乗の平均で、モデル学習の目標関数として最もよく用いられます。重要なのはバイアス・分散分解の考え方です。期待二乗誤差は「バイアス^2 + 分散 + ノイズ（不可避誤差）」に分解され、残差解析は過学習（分散過大）や過少学習（バイアス過大）の診断に役立ちます。回帰木やランダムフォレストでは残差プロットを見て非線形性や相互作用の必要性を判断します。

実務的な診断手順（推奨ワークフロー）

  • 1) 基本統計と残差ヒストグラムで分布を確認。

  • 2) 残差 vs. 予測値プロットで等分散性と線形性を検査。

  • 3) QQプロットで正規性を確認（必要ならシャピロ・ウィルク等の検定）。

  • 4) レバレッジと Cook's D で影響観測値を特定（ルール・オブ・サム：標準化残差が ±3、Cook's D > 4/n、レバレッジ > 2p/n などは参考基準）。

  • 5) 時系列なら ACF/PACF と Ljung–Box、回帰なら Durbin–Watson を実施。

  • 6) 仮定違反が見つかれば変数変換（対数・Box–Cox）、重み付き最小二乗（WLS）や一般化最小二乗（GLS）、ロバスト回帰、あるいはモデルの構造変更（非線形項や相互作用項の導入）を検討。

対処法と実用的なテクニック

  • 等分散性の欠如：重み付き最小二乗（WLS）や分散のモデル化（GLS）を用いる。残差の分散が観測値に依存する場合は分散関数を仮定して推定します。

  • 自己相関：時系列モデルの導入（AR, MA, ARIMA）、あるいは誤差構造を明示的に指定する方法（GLS）を検討。

  • 外れ値/影響値：外れ値がデータエラーか実際の重要な現象かを判断。データエラーなら修正・除外、重要な現象ならロバスト手法や分位回帰などで対応。

  • 非線形性：多項式項、スプライン、決定木ベースのモデルや非線形回帰を検討。

  • 機械学習特有：正則化（Ridge, Lasso）や交差検証、アンサンブル学習で残差の分散を抑え、汎化性能を改善。

実装例（Python, statsmodels での典型的な診断）

statsmodels の OLS は診断機能が充実しています。代表的な API は次のような形です（説明のみ、実行には Python 環境が必要）。

  • results = sm.OLS(y, X).fit()

  • 残差: results.resid

  • 影響解析: infl = results.get_influence(); infl.hat_matrix_diag, infl.resid_studentized_external, infl.cooks_distance

  • 自己相関検定: sm.stats.durbin_watson(results.resid)

scikit-learn を使う場合は残差は y - model.predict(X) で得られ、可視化や検定は別途実装します。

実務上の注意点とルール・オブ・サム

  • 標準化残差が ±3 を超える観測は要注意。

  • Cook's D の閾値は状況依存だが、一般的な目安として 4/n や 1 を参照することがある。

  • レバレッジの目安: h_ii > 2p/n や 3p/n を超える点は高レバレッジと見なす。

  • 自動的に観測値を除外するのは推奨されない。まず原因を調査（測定ミス、データ前処理の問題、実世界の珍しい事象など）。

まとめ：ITエンジニアが残差解析で得られる価値

残差は単なる「誤差」ではなく、モデル改善やデータ品質管理、異常検知、可視化による洞察の源泉です。統計モデリングでは仮定検証の中心であり、機械学習ではモデルの汎化性能評価に直結します。定量的な閾値や検定を使いつつ、常にドメイン知識と合わせて判断することが重要です。

参考文献

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