反変テンソル場とは何か：定義・変換則・実用例まで徹底解説

2025年12月12日 最終更新日時 : 2025年12月12日 エバープレイ編集部

イントロダクション — 反変テンソル場の重要性

反変テンソル場（はんぺんテンソルば、contravariant tensor field）は、微分幾何学や一般相対性理論、数値計算・シミュレーションなど多くの分野で基本となる概念です。プログラミングやデータ表現の文脈では「テンソル」という語が広義に使われますが、数学的に厳密な意味での反変テンソル場は座標変換に対する明確な変換則を持つ場（座標ごとにテンソルを割り当てる写像）です。本稿では定義、変換則、具体例、計算実装上の注意点、物理応用までを深掘りします。

基本定義：テンソル場と反変性

簡潔に言えば、テンソル場は各点にテンソル（多重線形写像やその成分配列）を割り当てる滑らかな写像です。テンソルはタイプ (r,s)（反変階数 r、共変階数 s）で表され、反変インデックス（上付き）を持つ部分は「反変成分」と呼ばれます。反変テンソル場という言葉は文脈によって、特に反変成分を強調する場合や、全ての上付きインデックスを持つテンソル（例：ベクトル場は(r=1,s=0)の反変テンソル場）を指すことがあります。

座標変換と変換則（核心部分）

座標変換 x^i → x'^i(x) に対して、反変成分はヤコビ行列の作用を受けます。最も基本的なケースであるベクトル場 V（タイプ(1,0)）の成分変換は次のようになります：

  • V'^i(x') = (∂x'^i/∂x^j) V^j(x).

一般のタイプ (r,s) のテンソル T の変換則は：

  • T'^{i1...ir}_{j1...js}(x') = (∂x'^{i1}/∂x^{k1}) ... (∂x'^{ir}/∂x^{kr}) (∂x^{l1}/∂x'^{j1}) ... (∂x^{ls}/∂x'^{js}) T^{k1...kr}_{l1...ls}(x).

ここで上付きインデックス（反変）は新座標の偏微分（新座標の関数としての古座標に対する微分）で変換され、下付きインデックス（共変）は逆ヤコビ（古座標の新座標に対する微分）で変換されます。直感的には、反変成分は座標軸がどのように伸び縮みするかに従う形で変化します。

幾何学的な解釈：接ベクトルと接空間の断面

反変テンソル場は接束（tangent bundle）の断面として扱えます。すなわち、各点での反変テンソル（例：ベクトル）はその点の接空間の元です。写像 φ: M→N が微分同相（diffeomorphism）ならば、対応するプッシュフォワード φ_* は接ベクトルを押し出す操作で、ヤコビ行列を使った上で示した変換則に一致します。反対に、共変テンソル（共変ベクトル＝1形式）はプルバック φ^* により引き戻されます。

実例：直交座標から極座標への変換

2次元平面での簡単な例を示します。直交座標 (x,y) と極座標 (r,θ) の間の変換は x = r cosθ, y = r sinθ です。ベクトル V = V^x ∂/∂x + V^y ∂/∂y を極座標の成分 V^r, V^θ に変換するにはヤコビを用います：

  • V^r = cosθ V^x + sinθ V^y
  • V^θ = (-sinθ/r) V^x + (cosθ/r) V^y

ここで角度成分に 1/r が出るのは座標基底 ∂/∂θ が長さに依存するためです。座標基底そのものが点に依存していると、成分の解釈にも注意が必要です。

メトリックと指標の上下変換

計量テンソル g_{ij} が与えられると、インデックスの上げ下げが可能になります。例えばベクトル V^i から共変成分 V_i = g_{ij} V^j を作れます。重要な点は、インデックスを上下する操作は座標変換の性質（反変／共変）を変えないということです。すなわち、V^i は反変、V_i は共変であり、g_{ij} 自体は共変テンソルです。一般相対性理論では物理的な量（力、運動量など）はテンソルとして表現され、座標選択に依存せず普遍的な法則を与えます。

テンソル密度（重み）と向きの扱い

テンソル密度（tensor density）は通常のテンソルにヤコビアンの冪（determinant of Jacobian）でスケーリングする性質を持ちます。重み w を持つ密度 φ は変換で φ' = |det(∂x/∂x')|^w φ のように振る舞います。ボリューム要素や積分測度を扱うときに重要です。向き（orientability）により符号付きの det を用いるか否かが問題になります。

解析・数値実装上の注意点（IT視点）

ソフトウェアで反変テンソル場を扱う際の実務的なポイントを挙げます。

  • データ表現：テンソルは多次元配列（ndarray）で表現できますが、数学的に同値でも座標系や基底の解釈は別です。成分配列だけでテンソルを扱うと、座標変換が抜け落ちる危険があります。
  • インデックス順序：メモリ配置（行優先・列優先）とインデックスの数学的順序を混同しないこと。API設計で明示的にインデックスの意味を記述します。
  • ヤコビアンの計算：座標変換の微分を数値差分で近似する際は精度・安定性に注意。自動微分（autodiff）を使えば精確な偏微分が得られます。
  • テンソルの型注釈：反変・共変の区別を型レベルで表現すると誤用を防げます（例えばRustやHaskellでの型システムを利用）。
  • ライブラリ：線形代数ライブラリ（Eigen, BLAS, LAPACK）やテンソルライブラリ（NumPy, TensorFlow, PyTorch）は計算を効率化しますが、「テンソル場」の幾何学的解釈は別途実装者が管理する必要があります。

応用例：一般相対性理論と物理

一般相対性理論では、重力場は計量テンソル g_{μν}(x) として表現されます。計量は座標に依存する場であり、テンソル変換則に従うことで座標変換不変な物理法則を提供します。曲率テンソル（リーマンテンソル）やエネルギー運動量テンソル T_{μν} などもテンソル場であり、アインシュタイン方程式 G_{μν} = 8π T_{μν} はテンソル方程式として成立します。ここでの反変・共変の扱いを誤ると物理量の解釈を誤ります。

微分幾何での微分作用素：Lie微分と共変微分

テンソル場に対する微分操作には主に二つあります。Lie微分 L_X はベクトル場 X に沿ったテンソル場の変化を測る座標に依存しない演算であり、座標変換則と整合します。一方、共変微分 ∇ は接続（connection）を使ってテンソル場を微分し、平行移動や曲率の概念を導入します。共変微分は計量と整合させることで（metric compatibility）インデックスの上下を扱いやすくします。

よくある混同と注意点

実務で見られる間違いを列挙します。

  • テンソルと多次元配列を同一視する：配列は成分の集合であり、テンソル性（どのように変換するか）を明示しないと誤使用が生じる。
  • 座標基底と正規直交基底の取扱い：非直交基底や座標基底では成分の直感的な解釈が変わる。
  • 自動的なインデックス昇降：計算コードでインデックスを勝手に上下すると、計量が明示されていない場面で誤りを導く。
  • 『テンソル』という語の曖昧さ：機械学習でのテンソル（多次元配列）と、微分幾何学でのテンソル（座標変換則を満たす幾何学的対象）は用途が異なる。

実務的なチェックリスト（実装前）

実装する前に確認すべき点：

  • 扱うテンソルのタイプ (r,s) を定義しているか。
  • 座標変換時に用いるヤコビアン（およびその逆行列・行列式）を正しく計算する手段があるか。
  • インデックスの順序とメモリ表現が一致しているか。
  • 必要ならば型システムやアノテーションで反変・共変を明示しているか。

まとめ

反変テンソル場は座標変換に従って成分がヤコビアンで変換される幾何学的対象であり、接束の断面としての解釈、ヤコビアンを介した明確な変換則、メトリックによる上下変換、テンソル密度などの概念が重要です。IT・プログラミングの文脈では、成分配列だけでなく座標系や基底の扱いを明示することで、物理的・数学的に一貫した実装が可能になります。

参考文献

テンソル - Wikipedia
接空間 - Wikipedia
ベクトル（数学） - Wikipedia
共変および反変 - Wikipedia
General Relativity - Wikipedia (英語)

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