非負辺重み（0以上）のグラフ：理論と実装、最適化の実践ガイド

2025年12月28日 最終更新日時 : 2025年12月28日 エバープレイ編集部

はじめに

グラフ理論やアルゴリズム実装の現場では、「辺の重みが0以上（非負）」という条件がしばしば現れます。道路ネットワーク、通信ネットワーク、最短経路問題、最小費用流など多くの応用領域で辺コストは負でないことが普通です。本稿では「0以上の辺の重み」がもたらす理論的な性質、アルゴリズム選択、実装上の注意点、最適化手法、代表的な特殊ケース（0-1 重み、整数重み）や応用まで、深掘りして解説します。実装者や設計者が直面する落とし穴やパフォーマンス改善策にも焦点を当てます。

非負重みが保証する基本的性質

辺重みが全て0以上であると、以下の重要な性質が成立します。

  • 負の閉路が存在しない：サイクルをたどって合計コストが負になることはありえないため、負の無限ループによる最短距離の不定は発生しません。これによりBellman–FordやJohnsonのような負辺対応手法を必須としません（ただし負辺が無いからといって必ずしもBellman-Fordが不要とは限らない場面もある）。
  • 単調性（距離の増加）：最短経路探索で、探索中に取り出される最小距離が単調非減少になります。これはダイクストラ法の正当性と効率性の鍵です。
  • 最短距離の下界がゼロ：任意の始点から各頂点への距離は0以上であるため、優先度付きキューやバケットの設計に際して負値を扱う必要がありません。

代表的なアルゴリズムと非負重みの関係

以下は非負重みグラフでよく使われるアルゴリズムと、非負性がどのように効いているかの説明です。

ダイクストラ法（Dijkstra）

非負重みで最も基本的かつ広く使われる最短経路アルゴリズムです。最小距離の単調性に依存しており、最小距離が確定した頂点は再び更新されることがないため、確定済みフラグを付けて安全に抜けられます。典型的な計算量は優先度付きキュー（binary heap）を用いてO((n + m) log n)（一般にO(m log n）と表記）です。

0-1 BFS（重みが0または1の特殊ケース）

辺重みが0か1のみの場合、deque（両端キュー）を使うことで幅優先探索に近いO(n + m)での最短距離算出が可能です。重み0の遷移はdequeの前に、重み1は後ろに追加するだけでよく、優先度付きキューを使うよりも非常に高速です。

Dialのアルゴリズム（バケット法）

全辺重みが非負の整数で、最大辺重みが小さい（上限Cが小さい）場合、Dialのバケット法を使うことでO(m + nC)のような高速化が可能です。実装は距離ごとにバケットを用意し、現在の最小距離のバケットから順に処理します。距離上限や辺重みの範囲に注意が必要です。

Radix Heap や Thorup の手法

整数重みかつ単調なキー（取り出すキーが非減少）という条件を生かすと、Radix Heap を用いてO(m + n log C)のような改善が得られます。さらに高度な理論的結果として、Thorupは無向グラフの整数重み最短経路を線形時間にできることを示しましたが、実装が非常に複雑であり実務で用いることは稀です。

A*（エースター）と整合的ヒューリスティック

A*はヒューリスティック（実行時に推定される目的地までのコスト）を使う探索で、ヒューリスティックが許容的（admissible）かつ整合的（consistent）であれば非負辺重みの下で最適性が保証され、ダイクストラと同様に効率的に動作します。整合性は各辺(u, v)について h(u) ≤ w(u, v) + h(v) を満たす条件で、非負辺重みがこの性質の検証を容易にします。

0重みが与える実装上の注意点・落とし穴

重みが非負であっても、0を含む場合はいくつかの注意点があります。

  • 同値距離による多重更新：0重みの辺を経由すると同じ距離が複数回キューに挿入されることがあります。遅延削除（lazy deletion）で余分なエントリを無視する実装は正しく動作しますが、メモリと時間を無駄にする可能性があります。
  • 訪問フラグの扱い：Dijkstraで頂点確定時にvisitedフラグを立てる実装は0重みがあっても問題ありませんが、途中で同一距離の別経路が来ると経路復元の方針（どの親を採るか）に影響します。最短経路が一意でないことを前提に実装を行う必要があります。
  • 浮動小数点のゼロ扱い：実数の重みを扱う場合、厳密なゼロ比較は危険です。EPS を使った比較や、重みをスケーリングして整数化するなどの対策が必要です。
  • オーバーフロー：重みの合計が整数の範囲を超える場合があり得ます。64ビット整数（long long）や適切なINF定義（numeric_limits::max()/4など）を使ってオーバーフローを防ぐことが重要です。
  • 自己ループと重複辺：自己ループが0の場合でも最短距離には影響しませんが、経路列挙や巡回検出の実装では扱いを明確にしておくべきです。並列辺が存在する場合は最小重みだけを残す前処理が有用です。

特殊ケースごとの最適な選択

用途や重みの性質に応じてアルゴリズムを選ぶと大幅に高速化できます。

  • 重みが0または1のみ：0-1 BFS（deque）を使う。O(n + m)で高速。
  • 重みが非負の小さい整数（上限Cが小さい）：Dialのバケット法が有効。メモリと距離上限に注意。
  • 任意の非負実数：通常はDijkstra（binary heapまたはpairing heap、Fibonacci heap）で十分。ヒープの実装で実用性能が変わる。
  • 非常に密なグラフ（m≈n^2）：隣接行列を使ったO(n^2)のダイクストラ実装がヒープを使うより高速な場合がある。
  • 大規模道路ネットワークなどの現実世界データ：コントラクションハイアラーキー（Contraction Hierarchies）やランドマーク法、A*（整合的ヒューリスティック）などの事前処理を用いた高速化が効果的。

理論的な余談：再重み付けとJohnsonのアルゴリズム

全ての辺が非負ならば、負辺対応のためのBellman-Ford による再重み付け（Johnsonのアルゴリズム）は不要です。しかしJohnsonのテクニック（頂点ポテンシャルによる再重み付け）は、複数始点の最短経路計算や任意の再重み付けによる最短距離の保全（距離順序の保持）などで依然有用です。非負性が保証されている場合は、より単純な手法で済ませられることが多いことを覚えておいてください。

性能面の実践的チューニング

実装時の具体的な改善ポイント：

  • データ型の選定：重みや距離は64ビット整数（long long）を標準とする。実数重みを使う場合はdoubleでEPSを考慮。
  • 優先度キューの選択：比較的多数の decrease-key が予想されるならば pairing heap や Fibonacci heap を検討。ただし実装コストと定数因子を考慮する。簡潔さと実行速度のバランスでは binary heap（std::priority_queue）に遅延削除を組み合わせるのが実務上よく使われます。
  • バケット法の採用基準：最大辺重みCや期待される最大距離範囲が小さい場合はDial法が有利。距離上限が大きい場合は逆に非効率。
  • メモリ・キャッシュ効率：隣接リストの格納順や頂点番号割当てを工夫して局所性を高めると大きな高速化が得られます。
  • 事前処理の活用：頻繁にクエリが来る静的グラフでは、コントラクションやランドマークなどの事前処理を投資しておくと全体コストが大幅に下がります。

実用的なチェックリスト（実装前に確認すべきこと）

  • 辺重みが整数か実数か、最大値・最小値はどの程度かを把握する。
  • 0重みが頻繁に出現するか：頻出するなら0-1 BFSやdequeベースの手法を検討する。
  • グラフの密度（m対n^2）に応じてアルゴリズム（ヒープかO(n^2)法）を選定する。
  • 最短経路の復元（親ポインタ取り扱い）や経路一意性をどう扱うかを仕様化する。
  • データ型・INF定義・オーバーフロー対策を必ず設計に含める。

応用例と注意が必要なケース

代表的な応用とそこでの注意点：

  • 地図・道路ネットワーク：距離や時間は通常非負。ラウンドトリップ（0コストのターン）や通行可能性のフラグに注意。
  • 通信ネットワークのコストモデル：遅延やパケット損失をコスト化する場合、0が意味するもの（遅延ゼロは現実的か）を明確にする。
  • ゲームやAI（A*）：ヒューリスティックの整合性を保つことで、非負重みの下で探索の最小回数を保証できる。
  • 流量アルゴリズム（最小費用流）：リデュースコスト（reduced cost）を用いる手法では、初期のポテンシャル計算に非負辺を有利に活用できる。負辺がないと初期処理が簡単になる。

まとめ

「0以上の辺の重み」は最短経路や関連アルゴリズムにとって強力な前提です。負辺に起因する不定性や負の閉路を心配する必要がなくなり、ダイクストラや0-1 BFS、Dialのバケット法など多様な効率的アルゴリズムが使えます。一方で0を含む重みは実装上の細かな落とし穴（多重更新、経路一意性、浮動小数点扱いなど）を生むため、データ型やヒープ構造、バケットの設計、事前処理戦略の選択を慎重に行う必要があります。用途に応じてアルゴリズムを選び、実装上の安全策（64ビット整数、INF定義、EPSなど）をきちんと整えることが高性能で正確なソフトウェアを作る鍵です。

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