スパースモデリング完全ガイド：L0 から L1 への最適化と実務応用
エバープレイ編集部はじめに — スパースモデリングとは何か
スパースモデリング（sparse modeling）は、データや信号を「できるだけ少ない要素（非ゼロ成分）」で表現することを目的とした手法群を指します。高次元データや冗長な情報が一般的になった現代のIT分野において、重要な特徴抽出、ノイズ除去、圧縮、解釈可能性の向上などに広く利用されています。スパース性（sparsity：多くがゼロで一部が非ゼロである性質）を仮定することで、未知の信号をより頑健かつ効率的に推定できます。
なぜスパース性が有効か
表現の簡潔化：少数の重要な因子で説明できれば、モデルは解釈しやすくなる。
過学習の抑制：パラメータ数の実質的な削減により、汎化性能が向上する場合がある。
計算資源と通信コストの削減：圧縮や伝送で有利（例：圧縮センシング、画像圧縮）。
ノイズ耐性：正則化により観測ノイズの影響を抑え、安定した推定が可能。
数学的定式化：L0 から L1 へ
スパースモデリングの原点は「可能な限り少ない非ゼロ係数を持つ解」を求める L0 最小化問題にあります。観測 y と行列 A が与えられたとき、x を
minimize ||x||_0 subject to A x = y
で求めるのが理想ですが、L0 ノルムは組合せ最適化であり計算困難（NP困難）です。そこで多くの場合 L1 ノルム（係数の絶対値和）を用いた凸緩和が採られます。代表的な形式は LASSO（Tibshirani, 1996）：
minimize (1/2)||Ax - y||_2^2 + λ ||x||_1
ここで λ は正則化パラメータで、スパース性とデータフィットのトレードオフを制御します。L1 正則化は多くの条件下で真のスパース解を回復することが解析的・経験的に示されています（圧縮センシング理論など）。
主要アルゴリズムと数値解法
座標降下法（Coordinate Descent）：LASSO や Elastic Net の実装で広く使われる。各変数を順に最適化することで効率的に解を求める（例：glmnet、scikit-learn）。
軟しきい値付き勾配法（ISTA）と高速版（FISTA）：近接勾配法の一種で、凸目的（平方誤差＋L1）に対して反復的に収束する。FISTA は収束速度を速めた手法（Beck & Teboulle, 2009）。
射影型・双対法や内点法：大規模問題や高精度が必要なケースで用いられることがある。
貪欲法：Matching Pursuit（MP）、Orthogonal Matching Pursuit（OMP）などは逐次的に重要な原子を選択する非凸な近似法（Mallat & Zhang, 1993）。
基底追求（Basis Pursuit）：L1 最小化を線形計画として解く手法（Chen, Donoho & Saunders, 1998）。
バリエーションと構造化スパース
単純な L1 正則化以外にも多様な拡張があります。
Elastic Net（Zou & Hastie, 2005）：L1 と L2 の両方を組み合わせ、相関の高い特徴群に対する安定性を向上。
Group LASSO：変数をグループ化して、グループ単位での選択を行う。
階層的／木構造スパース：特徴の階層関係を組み込み選択する。
融合ラッソ（Fused Lasso）や Total Variation：隣接する係数に平滑性制約を課すことで、信号の変化点検出などに有効。
辞書学習（Dictionary Learning）とスパース符号化（Sparse Coding）：与えられたデータからスパース表現に適した基底（辞書）を学習する（画像処理、音声処理など）。
応用例
圧縮センシング（Compressed Sensing）：少数のランダム測定からスパース信号を復元する理論と実践（Donoho, Candes 等）。MRI の高速化などで実用化。
特徴選択と解釈可能な機械学習：高次元データ（遺伝子データ、テキストなど）における重要変数の抽出。
画像処理：ノイズ除去（スパース表現に基づくデノising）、超解像、インペインティング。
信号処理と圧縮：音声・センサデータの圧縮と復元。
推薦システム・行列補完：潜在因子のスパース化や構造化正則化により解釈性と性能向上。
実務上の注意点とハイパーパラメータ選択
正則化パラメータ λ の選び方：交差検証（CV）、情報量規準（AIC/BIC など）、安定性選択（stability selection）などを利用。
標準化（スケーリング）：L1 正則化は変数尺度に敏感なので、通常は特徴量を標準化してから適用する。
バイアスの問題：L1 は係数を縮小するため推定値がバイアスを持つ。選択後に通常最小二乗で再推定（デバイアス）することもある。
マルチコロニアリティ：相関の強い説明変数があると LASSO は任意に一方を選ぶ傾向がある。Elastic Net やグループ化が有効。
計算コスト：次元やデータ数が大きい場合、効率的なアルゴリズムや近似法、分散処理が必要。
実装とツール
Python（scikit-learn）：Lasso, LassoCV, ElasticNet などの実装があり、座標降下法や最適化が最適化済みで使いやすい。
R（glmnet）：高速な座標降下法による LASSO/Elastic Net 実装（Friedman et al., 2010）。
SPAMS：辞書学習やスパース符号化のためのライブラリ（C++/MATLAB/Python バインディング）。
CVX/CVXOPT：凸最適化ソルバーとして基底追求や一般的な凸問題に利用。
まとめと今後の展望
スパースモデリングは、理論的基盤（圧縮センシング、統計的選択理論）と豊富な実用応用を持ち合わせる重要な技術です。単なるパラメータ削減ではなく、構造化スパースや辞書学習などによって表現力を保持しつつ解釈性や効率性を高める方向で進化しています。ディープラーニングとの組合せ（スパース正則化、スパースな活性化など）や、非凸最適化・確率的手法の発展により、今後も幅広い分野で応用が拡大すると期待されます。
参考文献
- Tibshirani, R. (1996). "Regression Shrinkage and Selection via the Lasso." Journal of the Royal Statistical Society. Series B.
- Hastie, T., Tibshirani, R., & Friedman, J. "The Elements of Statistical Learning."（参考書）
- Donoho, D. L. (2006). "Compressed Sensing." IEEE Transactions on Information Theory.
- Candès, E. J., Romberg, J., & Tao, T. (2006). "Robust uncertainty principles: Exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information."
- Chen, S. S., Donoho, D. L., & Saunders, M. A. (1998). "Atomic Decomposition by Basis Pursuit." SIAM Journal on Scientific Computing.
- Zou, H., & Hastie, T. (2005). "Regularization and variable selection via the elastic net." Journal of the Royal Statistical Society: Series B.
- Beck, A., & Teboulle, M. (2009). "A Fast Iterative Shrinkage-Thresholding Algorithm for Linear Inverse Problems." SIAM Journal on Imaging Sciences.
- Friedman, J., Hastie, T., & Tibshirani, R. (2010). "Regularization Paths for Generalized Linear Models via Coordinate Descent." Journal of Statistical Software.
- Mallat, S., & Zhang, Z. (1993). "Matching Pursuits with Time-Frequency Dictionaries."
- Bruckstein, A., Donoho, D., & Elad, M. (2009). "From sparse solutions of systems of equations to sparse modeling of signals and images." SIAM Review.
- scikit-learn: Lasso / ElasticNet ドキュメント
- glmnet パッケージ（R）
- SPAMS: Sparse Modeling Software
