乱択アルゴリズム入門：定義・代表例・理論・実装上の注意点まで完全解説

2025年12月16日 最終更新日時 : 2025年12月16日 エバープレイ編集部

乱択アルゴリズムとは

乱択アルゴリズム（randomized algorithm, 乱数アルゴリズム）は、計算過程で乱数を利用するアルゴリズムの総称です。入力の同じ値に対しても乱数の取り方次第で異なる挙動や出力を示すことがあり、決定性アルゴリズムに比べて簡潔だったり、高速・省メモリで近似解を得られたりする利点があります。一方で誤答確率や再現性の扱いなど、独特の注意点があります。

主要な分類：Las Vegas と Monte Carlo

乱択アルゴリズムは大きく2種類に分けられます。

  • Las Vegas 型：常に正しい答えを返すことが保証されており、乱数は実行時間（期待実行時間や分散）に影響します。例えば、乱択クイックソート（ランダムピボット）では出力は正しいが、実行時間が乱数に依存します。
  • Monte Carlo 型：実行時間は決まっているが、誤答確率があるアルゴリズム。誤答確率を十分に低く抑えられるのが通常の要件です。例として Miller–Rabin 素数判定や多くの近似アルゴリズムが挙げられます。

確率の扱いと解析手法

乱択アルゴリズムの解析では、期待値や高率不等式が重要です。期待実行時間や期待誤差を評価し、必要なら分散や尾部確率（Markov 不等式、Chebyshev 不等式、Chernoff 増幅など）で高い確率で良好な振る舞いを示すことを示します。特に Chernoff 増幅は独立試行の合計に対する強い集中境界を与え、誤差の指数的減少を保証するため頻繁に用いられます。

代表的なアルゴリズムと応用例

  • ランダム化クイックソート・クイックセレクト：ピボットをランダムに選ぶことで最悪ケース（既に整列済みなど）を確率的に回避し、期待 O(n log n) の比較回数を実現します。Quickselect（中央値選択）も期待線形時間で選択を行います。

  • Miller–Rabin 素数判定：確率的多項式時間の素数判定であり、与えられた合数を偽陽性（合成数を素数と判定）とする確率を十分小さくできます。繰り返し試行で誤判定確率を指数的に下げられ、実務上広く使われます（暗号用途では回数や乱数源の扱いに注意）。

  • ハッシュ法とユニバーサルハッシング：衝突を避けるためにランダムハッシュ関数を選ぶことで、期待コストや最悪ケースの確率を制御できます。ハッシュ表の平均挿入操作時間や Cuckoo ハッシュ、Load balancing（均等分散）の設計に有用です。

  • Bloom フィルタと確率的データ構造：空間を節約して集合メンバシップを判定する近似構造で、偽陽性を許容する代わりにメモリを大幅に削減します。ネットワーク・データベース・キャッシュで広く使われます。

  • フラジョレット・マーティン（Flajolet–Martin）などのストリーミングアルゴリズム：大規模ストリームに対して近似値（異なる要素数など）を小さいメモリで求めます。確率解析に基づくコンパクトなスケッチを用いるのが特徴です。

  • ランダム化線形代数（ランダム化 SVD 等）：大規模行列近似をランダム射影で効率化し、高速な近似固有分解や次元削減を実現します。機械学習や推薦システムでの行列分解に有効です。

確率増幅と誤差制御

Monte Carlo 型では、単一実行での誤差確率 p を t 回独立に繰り返すことで失敗確率をほぼ p^t に減らせます（反復独立化）。中央値を取る手法や多数決などのブースティング（誤り訂正）もよく使われます。注意点としては繰り返しで計算資源が増えるため、誤り確率とコストのトレードオフを設計時に評価することが重要です。

非乱択化（derandomization）の考え方

乱数を排して決定性アルゴリズムに置き換える技法も研究されています。代表的手法は条件付き期待値法（method of conditional expectations）、有限独立性や有限分布族の活用、偽乱数ジェネレータ（PRG）を用いる方法です。計算複雑性理論では、BPP（確率多項式時間）のクラスが P に等しいかどうかは未解決ですが、Adleman による BPP ⊆ P/poly、Lautemann による BPP ⊆ Σ2 ∩ Π2 といった包含関係が知られています。実務では擬似乱数で十分な場合が多く、その際はシード管理が重要になります。

乱数源とセキュリティの区別

実装では乱数の質が結果に直結します。非暗号用途では良質な擬似乱数生成器（Mersenne Twister や xorshift 系など）で十分なことが多いですが、暗号的用途や攻撃可能な環境では暗号学的擬似乱数生成器（CSPRNG）を使う必要があります。アルゴリズム的乱数の要件（独立性、分布の一様性、周期長など）を明確にし、必要なら真のエントロピー源（/dev/urandom 等）を組み合わせます。

実装上の注意とベストプラクティス

  • 再現性：デバッグや比較のためにシードを固定できる設計にする。ただし本番環境でのセキュリティ要件は別に検討する。
  • 並列化：並列実行時にはスレッド間で乱数ストリームが衝突しないよう、独立なシードや分割可能な PRNG を利用する。
  • 誤差蓄積の管理：複数箇所で乱択を使う場合、全体での失敗確率をボトルネックに合わせて積算する（Union bound 等）。
  • テストと検証：理論的解析だけでなくモンテカルロ実験で実際の振る舞いを確認する。稀な失敗事象は統計的に観測しにくいため注意。

よくある誤解と落とし穴

乱択アルゴリズムは「常に速い」わけではなく、確率的な最悪ケースや偏った乱数源が性能を劣化させることがあります。また、暗号的安全性を期待して擬似乱数を使うのは危険で、用途によって乱数の要件を明確に分ける必要があります。さらに、乱択によって得られる期待値的な性能は、単一実行での性能を必ずしも保証しない点も理解しておくべきです。

実務での適用例まとめ

乱択アルゴリズムは、大規模データ処理（ストリーミング集計、近似クエリ）、データ構造（ハッシュ表・Bloom フィルタ）、暗号素数生成、数値線形代数の近似法、負荷分散（ランダム化割り当て）など幅広い分野で利用されています。設計時には誤答確率、実行時間、メモリ、乱数源の要件を総合的に判断することが成功の鍵です。

まとめ

乱択アルゴリズムは理論的にも実務的にも強力な道具です。Las Vegas と Monte Carlo の特性を理解し、確率解析（期待値・集中不等式）を用いて誤差や実行時間を評価すること、適切な乱数源と再現性・セキュリティの要件を分離することが重要です。必要に応じて確率増幅や非乱択化の技法で失敗確率を下げたり、擬似乱数で性能と再現性を両立させる設計が求められます。

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