スピアマン相関係数とは？定義・計算方法・IT実務での応用と注意点

2025年12月24日 最終更新日時 : 2025年12月24日 エバープレイ編集部

概要：スピアマン相関係数とは何か

スピアマン相関係数（Spearmanの順位相関係数、記号ではρまたはrs）は、2つの変数間の単調関係の強さと方向を測る非パラメトリックな指標です。元々は1904年にC. Spearmanによって提案され、データが正規分布に従わない、外れ値の影響が懸念される、あるいは測定が順序尺度（順位）の場合に適しています。ピアソンの積率相関係数が線形関係を前提とするのに対し、スピアマンは「単調（monotonic）」な関係なら検出できます。

数学的定義と計算方法

スピアマン相関係数は、元のデータを各変数ごとに順位（rank）に変換し、その順位に対してピアソン相関係数を計算することで得られます。具体的な定義は次の通りです。

  • まず、各観測値を昇順（または降順）に並べ、順位を与えます（同順位（tie）があれば平均順位を与えることが一般的です）。
  • 2つの変数の順位をそれぞれRi、Si（i = 1,...,n）とすると、スピアマンのρはピアソンのrを順位に適用したものです：

    ρ = rPearson(R, S) = \frac{cov(R,S)}{σ_R σ_S}

  • 順位の差di = Ri − Si を用いる簡便公式（同順位がない場合）もよく使われます：

    ρ = 1 − \frac{6 \sum_{i=1}^n d_i^2}{n(n^2 − 1)}

    ただし、この式は完全な順位付け（同順位がない）を仮定しています。

同順位（ties）の扱い

現実のデータでは同順位が頻繁に発生します。同順位が存在する場合、上記の簡便公式は厳密には正しくありません。一般的には次の処理を行います：

  • 同値の観測値には平均順位を割り当てる（例：3位と4位が同値なら双方に3.5を割り当てる）。
  • その後、順位に基づいてピアソン相関を計算する。これが最も一般的で正確な方法です。
  • 検定や標準誤差を求める際には、同順位の補正を考慮した統計量や近似分布を使用することがあります（多くの統計ソフトや関数が内部で補正を行います）。

性質と解釈

スピアマン相関係数の値域は −1〜+1 です。各値の解釈はピアソンと類似していますが、注意点は次のとおりです：

  • ρ = +1：一方の変数が増加するにつれてもう一方も厳密に単調増加する（順位が完全一致する）。
  • ρ = −1：一方の変数が増加するにつれてもう一方が厳密に単調減少する。
  • ρ ≈ 0：明確な単調関係が見られない（非線形で非単調な関係や独立な場合）。

ポイントは、スピアマンは『単調性』を測る指標であり、『線形性』を測るピアソンと異なるという点です。したがって、非線形でも単調な関係（例：対数的関係や指数関係の一部）はスピアマンで高い相関となることがあります。

検定（帰無仮説とp値）

スピアマン相関に対する帰無仮説は「2つの変数の順位が独立である（ρ = 0）」です。検定には主に次の方法があります：

  • 近似的検定：大標本（nが大きい）では、スピアマンのρは正規近似に基づくt統計量やz変換で検定できます。多くの実装は近似的なp値を返します。
  • 正確検定（permutation／ランダム化）：データの片方の順位を多数回シャッフルし、得られるρの分布を生成してp値を評価します。小さいサンプルや同順位が多い場合に有用です。
  • 修正された統計量：同順位やサンプルサイズに応じて、補正済みの標準誤差や検定統計量を用いる方法もあります。例えば、統計パッケージは内部で補正を行っていることが多いです。

注意点として、p値は因果関係を示すものではなく、単に観測された相関が帰無仮説のもとで偶然観測される確率の小ささを示すに過ぎません。

信頼区間と推定の不確実性

スピアマンρの信頼区間を求める方法として、漸近的アプローチ（Fisherのz変換の類推）やブートストラップが使われます。特に同順位が多い場合やサンプルサイズが中小規模の場合は、ブートストラップに基づく信頼区間の方が頑健です。

ピアソン相関との比較、ケンドールのτとの関係

主要な違いは以下の通りです：

  • ピアソン：線形関係と分布（特に外れ値や正規性）を強く前提。平均や分散の尺度に敏感。
  • スピアマン：順位に基づくため外れ値に頑健で、単調関係を検出できる。分位点ベースの情報を利用。
  • ケンドールのτ：順位の一致・不一致のペアの比率に基づく。スピアマンと似ているが、数学的定義や分布に違いがあり、特にサンプルサイズが小さい場合や同順位が多い場合に挙動が異なる。

実務的には、データの性質（分布、外れ値、尺度）に応じてこれらの指標を使い分けるのが良いでしょう。

計算上の注意点と数値的実装

実装で注意する点は次のとおりです：

  • 欠損値の扱い：欠損をどう処理するか（ペアワイズ削除、完全ケース解析など）を統一する必要があります。
  • 同順位の割当方法：平均順位で処理するのが一般的ですが、ソフトや関数により異なる実装があるため挙動を確認してください。
  • 計算の安定性：非常に大きなデータセットやメモリ制約がある場合は、ストリーミングや分散計算で順位付けを行う実装が必要になることがあります。外部ソートや部分ソートを用いたアルゴリズムが有効です。

IT・データサイエンス実務での応用例

スピアマン相関係数は以下のような場面で有用です：

  • 特徴量選択：ラベルが順序尺度である、または非線形だが単調な説明変数を検出する際に有効。例えば、顧客の満足度（順序尺度）と複数の数値的特徴量の関係を測る。
  • モデル評価：予測モデルの出力順位と実際の順位の一致度を評価するために利用。特にランキング問題（検索エンジン、推薦システムなど）において有用。
  • メトリクスの相関分析：ログデータの指標（クリック数、滞在時間、ページ遷移数など）間の単調関係を調べ、冗長な指標の削除やダッシュボードの整理に役立てる。
  • 異常検知の補助：外れ値に敏感でない特性を利用して、外れ値の影響を受けにくい相関構造を把握する。

実用的な流れ（ワークフロー）

データ解析の工程でスピアマン相関を使う場合の一般的な流れは次のようになります：

  • データクリーニング：欠損値処理、異常値の確認、スケーリングは不要（順位ベースのため）。
  • 順位変換：必要に応じてrankを計算。 tieの扱いを決める。
  • 相関算出：順位に対してピアソン相関を計算するか、直接スピアマン関数を利用。
  • 検定・信頼区間：p値や信頼区間を計算し、統計的有意性を評価。必要に応じてPermutationやBootstrapを実施。
  • 解釈と可視化：散布図（原点データ及び順位散布図）、ヒートマップ、相関行列などで可視化し、単調性の有無を確認。

実装のヒント（Python/R）

主要ライブラリでの実装は簡単です。代表例：

  • Python（SciPy）: from scipy.stats import spearmanr を使い、rho, p = spearmanr(x, y) で取得できます。欠損や同順位の扱いはドキュメントを確認してください。
  • R: cor(x, y, method = 'spearman') で相関を計算。 cor.test(x, y, method = 'spearman') はp値や信頼区間の近似を返します。

大規模データの場合は分散処理フレームワーク（Sparkなど）で順位を効率的に計算する必要があります。順位付けはソートが必要なため計算コストがかかりますが、部分ソートや近似順位を用いるトレードオフも検討できます。

利点と限界（注意点）

利点：

  • 非パラメトリックであり、分布仮定が不要。
  • 外れ値に対して頑健。
  • 単調関係を検出できる点で有用。

限界・注意点：

  • 因果関係を示さない（相関は因果ではない）。
  • 単調でないが意味のある非線形関係（例えば凸凹の関係）には弱い。
  • 順位に変換する過程で元のスケール情報が失われる場合があるため、効果量の解釈が難しいことがある。
  • 同順位が非常に多いデータやカテゴリカルな順序データでは取り扱いに注意が必要。

実例：ログ解析での活用（簡潔なケーススタディ）

あるウェブサービスで、ユーザーのセッション長（秒）とコンバージョン確率の関係を調べるとします。データに外れ値（極端に長いセッション）が含まれる場合、ピアソン相関では外れ値により相関が歪む可能性があります。スピアマン相関を使えば、セッション長とコンバージョン確率の単調増加（長いセッションほど転換率が高い）をロバストに検出できます。さらに、ランキングベースの評価（上位10%ユーザーの行動など）と相性が良いため、マーケティング施策の優先順位付けにも応用できます。

まとめ（実務への提言）

スピアマン相関係数は非パラメトリックかつ外れ値に頑健な指標で、ITやデータサイエンスの実務で広く使えるツールです。特にデータが非正規分布、測度が順序尺度、あるいは単調性を期待する場面では第一選択になり得ます。一方で、同順位の扱い、検定の近似性、解釈の限界（因果関係ではない点）には注意が必要です。実装時はライブラリの挙動を確認し、必要に応じてPermutationやBootstrapといった精密な手法で補強してください。

参考文献

カテゴリー
IT
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