フェルマー数とは何か：素数性・ペパンの判定・作図との関係と現状の課題

2025年11月25日 最終更新日時 : 2025年11月25日 エバープレイ編集部

はじめに — フェルマー数とは何か

フェルマー数（Fermat number）は、形が非常に単純でありながら深い数論的性質を持つ整数列です。一般項は次で定義されます。

  • Fn = 22^n + 1 （n = 0, 1, 2, ...）

つまり F0 = 3、F1 = 5、F2 = 17、F3 = 257、F4 = 65537 ... と続きます。この単純な形のため、フェルマー数は古くから素数性や因数分解の研究対象となってきました。

歴史的経緯と重要な発見

フェルマー数は17世紀の数学者ピエール＝ド・フェルマーの名前に由来します。フェルマーは自身の著作で F0〜F4 が素数であることを見つけ、すべての n に対して Fn が素数であると推測しました。しかしこの予想は正しくありませんでした。

18世紀の数学者レオンハルト・オイラーは1732年に F5 = 232 + 1 = 4,294,967,297 が素数でないことを示しました。実際、オイラーは F5 が 641 × 6,700,417 であることを発見しました。この反例により「すべてのフェルマー数が素数である」というフェルマーの予想は否定されました。

以降、多くの n で Fn が合成数であることが示され、小さな約数が次々と発見されました。現在までに F0 から F4 の 5 個のみが素数であることが確立されており、それ以降の n に対して素数である例は見つかっていません（未知数である点を含め後述）。

基本的な性質と恒等式

フェルマー数には興味深い恒等式や代数的性質がいくつかあります。代表的なものを示します。

  • 再帰的関係式：Fn = F0F1...Fn-1 + 2。すなわち

Fn − 2 = ∏k=0n-1 Fk.

この恒等式は帰納法で容易に示せ、フェルマー数列の重要な構造を与えます。

  • 互いに素：異なる m ≠ n に対して gcd(Fm, Fn) = 1。これは上の恒等式からすぐに従います。もし p が Fk と Fn の共通約数だとすると、p は両方を割るが、右辺の形から p は 2 を除いた ∏ の因子にもなり得ず矛盾するためです。
  • 成長の速さ：Fn は指数関数的に増加します。例えば 22^n という形のため、n が 5 や 6 に達しただけで桁数は急増します。

フェルマー素数と多角形作図

フェルマー素数（Fermat prime）とは、フェルマー数のうち素数であるものを指します。歴史的に重要なのは次の関連です。

  • ガウスの結果（18世紀末）：正多角形の作図に関する古典的問題において、正 n 角形を定規とコンパスだけで作図可能である条件は、n が 2k と互いに異なるフェルマー素数の積で表されることである、という方向性が示されました。
  • ウォンツェル（Wantzel, 1837）は作図可能性の必要十分条件を厳密に定式化しました。結果として「正 n 角形が定規とコンパスで作図できる ⇔ n = 2^k × (互いに異なるフェルマー素数の積)」となります。

このため、フェルマー素数の存在は古典幾何学の作図問題と直接結びついています。例えば 17（=F2）が素数であることが、正17角形が定規とコンパスで描ける理由の一つです。

素数判定法：ペパンの判定（Pépin の判定）

フェルマー数に対する特別な素数判定法としてペパンの判定があります。これは非常に効率的で実践的に用いられています。

ペパンの判定（簡潔な形）

  • n ≥ 1 に対して、Fn が素数であることと次の合同式が成り立つことは同値です：

a(Fn−1)/2 ≡ −1 (mod Fn)

ここで a はフェルマー数に対してヤコビ記号 (a/Fn) = −1 を満たす任意の整数です。実務ではしばしば a = 3 を使うことが多く、実際には「3(Fn−1)/2 ≡ −1 (mod Fn)」がテストとして用いられます（この形が成り立つのは多くの n に対して十分に実用的です）。

ペパンの判定は有限回のモジュラーべき乗演算で判定可能なため、巨大なフェルマー数の素性判定に広く使われています。判定に失敗すれば合成であることが確定しますが、合同式が成り立てば素数であることが確定します。

因数分解と現在の状況

フェルマー数の因数分解は計算数論の難題であり、特に n が大きくなると数は非常に巨大になります。重要な既知事実は次のとおりです。

  • 既知のフェルマー素数は F0〜F4 の 5 個のみ（3, 5, 17, 257, 65537）。それ以降（n ≥ 5）で素数である例は発見されていません。
  • F5 の因数分解（オイラー, 1732）：F5 = 4,294,967,297 = 641 × 6,700,417。これはフェルマーの予想を覆した歴史的発見です。
  • その後、多くの n について小さい素因数が見つかり、Fn が合成であることが証明されてきました。現代の大規模合成数判定や分解プロジェクトにより、かなりの n まで少なくとも一つの素因数が分かっていますが、完全因数分解は難しい場合が多いです。

注意点として、「n がある限りすべて合成である」とは未解決の問題です。つまり、フェルマー素数が有限個しか存在しないか無限個存在するかは未だ決着していません。しかしこれまでの経験則と計算結果から「F5 以降に素数が極めて稀である」ことは確かです。

一般化と周辺トピック

フェルマー数に関連する一般化や派生研究も活発です。

  • 一般化フェルマー数（Generalized Fermat Numbers, GFN）: 形 a2^n + 1（a > 1 の固定基数）として研究されます。特に a が小さい場合には同様の判定法や因数分解の手法が使われます。
  • 暗号や擬似乱数生成: フェルマー数そのものが暗号のコアとして直接使われることは少ないですが、数論的性質の研究は素数生成や分解アルゴリズムの基礎となり、間接的に重要です。
  • 計算機実験: 大きなフェルマー数に対するペパン試験や ECM/GNFS 等の因数分解法を用いた実験は、実験的整数論の重要分野となっています。

いくつかの証明スケッチ

・互いに素であることの証明（概略）

仮に p が Fi と Fj の共通約数だとする（i < j とする）。恒等式 Fj − 2 = ∏k=0j−1 Fk より p は右辺を割るが、同時に p は左辺の Fj も割る。すると p は 2 を割ることになり矛盾する（すべての Fn は奇数）。従って共通約数は 1 である。

・ペパンの判定の簡単な説明（直感）

Fn が素数であれば、オイラーの基礎定理やヤコビ記号の性質から a(Fn−1)/2 ≡ ±1 となり、さらにヤコビ記号 (a/Fn) = −1 を選べば右辺は −1 になります。逆にこの合同式が成り立てば Fn の任意の素因子に対する条件から合成でないことが示せ、素数性が確定します（詳細は数論の教科書にある正式な証明を参照してください）。

現状の課題と未解決問題

  • フェルマー素数が有限個か無限個かは未解決。
  • 大きな n に対する Fn の完全因数分解は計算量の面で困難が残る。
  • 一般化フェルマー数の素数分布や新しい判定アルゴリズムの改良は計算数論の重要課題である。

まとめ

フェルマー数はその単純な定義にもかかわらず、数論、計算数学、古典幾何学（作図問題）など多方面に影響を与えてきた古典的かつ現在も活発な研究対象です。F0〜F4 の 5 個が既知のフェルマー素数であり、以降は合成数が多数を占めますが、完全な全体像は未だ明らかになっていません。ペパンの判定のような専用の素数判定法や、現代の因数分解アルゴリズムを組み合わせた研究は今後も続くでしょう。

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